গণিত মানুষকে ভাবতে শেখায়,  সৃজনশীল করে তুলে। চলুন একটু ভাবা যাক একটা সমস্যা নিয়ে
দেখি কেউ সমাধান করতে পারেন কিনা...

একটা book club এ  A,B,C,D,E,F নামের ৬ জন
সদস্য আছেন। জানুয়ারী মাসের Book club এর মিটিং এর সময় প্রত্যেকেই তাদের নিজেদের কেনা একটা করে বই নিয়ে আসলো।
১নং,  ২ নং করে করে ৬ নং বই যথাক্রমে A B C D E  এবং F এর।
প্রত্যেকেই নিজেদের আনা বই পড়ছিল।
B যে বইটি নিয়ে এসেছিল সেটা B ছাড়া অন্য কেউ পড়ে নাই।
E যে বইটি নিয়ে এসেছিল সেটা B E এবং অন্য একজন পড়েছিল।
D  তার নিজের বই সহ সবার নিয়ে যাওয়া বই থেকে ৪ টি বই পড়েছিল।
A যে বই নিয়ে গিয়েছিল সেটা A B এবং অন্য ২ জন পড়েছিল
C তার নিয়ে যাওয়া বই ছাড়া অন্য কোন বই পড়ে নাই
C এবং অন্য ৩ জন C এর নিয়ে যাওয়া বই পড়েছিল।
F ছাড়া অন্য ৪ জন ৬ নং বই পড়েছিল।
যদি D & E উভয়েই ১ নং বই পড়ে থাকে,
F ৪ টি বই পড়ছিল যেগুলো তারা নিয়ে গিয়েছিল (F এর নিয়ে যাওয়া বই সহ)

তাহলে F নিজের বই ছাড়া আর কোন বই গুলো (কত কত নং বইগুলো)  পড়বে????

চেষ্টা করতে থাকুন আশা করি পারবেন আর না
পারলে চিন্তা নাই সমাধান পরে দিয়ে দিবো..

ধন্যবাদ সবাইকে...........

গণিত যে কত মজার বিষয় তা এর ভিতরে না ঢুকতে পারলে কেউ বুঝতে পারবেন না।
যাই হোক আজকে আমরা দেখবো ১=-১ এর প্রমাণ।
হায় হায়...  এটা কি বলে ১=-১ ও আবার হয় নাকি।
হ্যা হয় কিন্তু কিছু ভূল এর মাধ্যমে হয়। চলুন প্রমাণ করি ১= - ১। এবং যদি পারেন তাহলে ভূল খুজে বের করুন।

1 = - 1 এর প্রমাণ :

কি হা হয়ে গেলেন?  হওয়ার ই কথা। এখন দেখুন কোথায় ভূল আছে।

আবারো 1= - 1 প্রমাণ :

আরো একবার,

যাই হোক। এখন আপনাদের কাজ হলো ভূল খুজে বের করা।

ধন্যবাদ সবাইকে
শাওন সিকদার

আমরা অনেকেই হয়তো অনেক প্রমাণ দেখেছেন যেমন ১=২ বা ৪=৫
বা ৩=৫ কিন্তু দেখেছেন কি ১=০ এর প্রমাণ?

হ্যা আমরা জানি গণিতে ১=০ হয় না কিন্তু
রীমান সিরিজ থিওরেম ব্যবহার করে আমরা
সহজেই প্রমাণ করতে পারি ১=০

আমরা রীমান সিরিজ থিওরেম অনুযায়ী এমন
একটি অনন্ত ধারা নেই যেখানে শুধু পজিটিভ  ১
ও নেগেটিভ ১ থাকবে।

যেমন S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1+................  এভাবে একটি
ধারা নেই। এইবার এই ধারাটিকে নিজের ইচ্ছে
মতো  নিম্নোক্ত ভাবে সাজাই

S = S

1-1+1-1+1-1+1-............... =  1-1+1-1+1-1+1................

1-(1-1)-(1-1)-(1-1) =  (1-1)+(1-1)+(1-1)

1-0-0-0.    =  0+0+0

1=0

অতএব প্রমাণিত হলো যে ১=০ :D

শিরোনাম দেখে কি মনে হচ্ছে?
কিরে বাবা এইডা কোন কথা হলো? হয়তো ভাবছেন

২১১৫ সাল মানে ১০০ বছর পর ১কেজি  চালের দাম কত হবে?
কত আবার এখন ৪০ টাকা ১০০ বছর পর ৪০০০ হাজার টাকা.... 
হায় হায় নিজেই মাথায় হাত দিয়ে ফেলেছেন এইডা আবার কি হলো?? 
এইবার ভাবছেন আরেহ আসলেই তো যতো
সোজা মনে করেছিলাম এটা দেখি তত সোজা না... ... 

যাই হোক আমরা আজকে বের করবো আজকে থেকে ১০০ বছর পর চালের দাম কত হবে?

সমাজে সুদ প্রথা চালু থাকায় ভবিষ্যৎ এ দ্রব্যমূল্য বৃদ্ধি পায়।এখন আমরা দেখবো  ১০০ বছর পরে ১ কেজি চালের দাম কত হবে কিভাবে তা বের করা যায় -
এজন্য আমরা টাইম ভ্যেলু অব মানি অতি ক্ষুদ্র
একটি সূত্র ব্যবহার করবো
যথা---  FV = PV(1+r) ^N  _ _ _ _ _ _ _(1)
FV হলো ভবিষ্যৎ এ চালের দাম
PV  হলো চালের বর্তমান দাম
r হলো প্রতি বছর চালের মূল্য বৃদ্ধির হার
আর N হলো কত বছর পর এর দাম জানতে চাই সেটার সংখ্যা

ধরি,বর্তমানে চালের মূল্য PV = 40 টাকা
কিন্তু আমরা জানিনা r এর মান। এর জন্য
আমরা অন্য একটি উপাত্ত ব্যবহার করবো।

আমরা জানি, ১৯৯৫ সালে ১ কেজী চালের দাম ছিল ১০ টাকা। এখন আমরা ১৯৯৫ কে
বর্তমান ধরে এবং ২০১৫ কে ভবিষ্যৎ ধরে মানে
PV=10. &  FV= 40  এবং যেহেতু ১৯৯৫ থেকে ২০১৫ মানে ২০ বছর সেহেতু N এর মান ২০
বসিয়ে এখন আমরা r এর মান বের করে নিবো।

এখন (1) সমীকরণ এ মান বসিয়ে পাই
40=10 (1 +r) ^20
বা, 4=(1+ r) ^20
বা,log 4 = 20 log (1+r)
বা, log (1 + r)  = log 4 / 20
বা, log ( 1 + r)  = 0.030103
বা, 1+r = antilog 0.030103
বা, 1 + r = 1.07
বা r = 0.07

কাজেই প্রতি বছর চালের দামের চক্রবৃদ্ধির হার গড়ে ৭%।
যদি আগামী ১০০ বছর একই হারে দাম বাড়ে
তাহলে দাম যেটা হবে তা Trust করতে অনেক কষ্ট হবে।
তাহলে দেখুন
PV= 40
r = 0.07
N= 100

হলে আমরা পাই

FV = 40(1+0.07) ^100
FV= 34709

মানে আগামী ১০০ বছর পর ১ কেজী চালের দাম হবে ৩৪৭০৯ বা প্রায় ৩৫ হাজার টাকা..!!!!!!!!!!!!!!!
মানুষ কি খেয়ে বাচবে??  ভাববার বিষয়

বি দ্র উপরের নিয়মটি কেবল  চক্রবৃদ্ধি সুদের জন্য প্রযোজ্য, সরল সুদে এর মান হবে ৪০+(৪০ X ০.০৭ X ১০০) = ৩২০ টাকা।

-শাওন  সিকদার 

www.facebook.com/bigganplusgonit 

আমাদের মধ্যে অনেকেরই
গণিতভীতি চরমে। গণিত দেখলেই
আমাদের মাথা ধরে যায়। অথচ
বর্তমান বিজ্ঞান, অর্থনীতি
ইত্যাদি বিষয়ের ভিত্তি হচ্ছে এই
গণিত। গণিত ছাড়া বর্তমান
সভ্যাতা অচল।

গণিত নিজেই একটি বিজ্ঞান
বর্তমানে সে বিজ্ঞানের ধারক ও
বাহক। তাইতো গ্যালিলিও
বলেছেন “ প্রকৃতির বিরাট গ্রন্থটি
গণিতের ভাষায় লেখা।”এরই মধ্যে
কিছু কিছু গণিতের তত্ত্ব এই
পৃথিবীকে প্রভাবিত করেছে
সবচেয়ে বেশি। তারই কিছু
গণিতের তত্ত্ব নিয়ে এই লেখা। (ভয়
পাবেন না এটা গণিত শিখার
কোন পোস্ট নয় এটা গণিতের কিছু
তত্ত্ব নিয়ে একটি তাত্তিক
আলোচনা।)

সেট তত্ত্ব(Set Theory) :সেট তত্ত্ব
গণিতের একটি অন্যতম শাখা। এর
সঙ্গা অনেকটা এরকম: বস্তু জগতের
বা চিন্তা জগতের বস্তু বা ধারনার
যে কোন সুনির্ধারিত তালিকা,
সংগ্রহ, শ্রেণী বা অবজেক্টকে
সেট বল হয়।“ সেট তত্তের জনক বলা
হয় জার্মান গণিতবিদ জন
ক্যান্টরকে।
আধুনিক জ্ঞান বিজ্ঞানের
প্রতিটি ক্ষেএে আমরা সেট
ব্যবহার করি। প্রোগ্রামিং জগতে
এই সেটকে আবার এ্যরে বলা হয়।
সেট এর প্রয়োগক্ষেএ বিশাল।
১)ফ্রিজিক্স, কেমেস্ট্রি এবং
বায়োলজির অনেক সূএ দাড়িয়ে
আছে এই সেট থিওরীর উপর।
২) ইন্জিনিয়ারিং এর প্রতিটি
ক্ষেএ আছে সেট থিওরী।
৩) এটা আবার ক্যালকুলাসের
উন্নয়নের ব্যবহার করা হয়।
৪) ফাংশনের ভিত্তি হচ্ছে সেট।

লগারিদম(logarithm): কুড়ি বছরের
অক্লান্ত পরিশ্রমের ফল হল
লগারিদম। জানেন এই পরিশ্রম কে
করেছে ? জন নেপিয়ার। কুড়ি
বছরের পরিশ্রমে তিনি ৯০ পৃষ্টার
একটি বই বের করেছিলেন যার নাম
ছিল “ A description of an admirable table of
logarithms ”. ৯০ পৃষ্টার এই বইটি
আজকের বিজ্ঞানের বিশাল
বিশাল সব বই সৃস্টি করেছে।
এর সঙ্গা এরকম:
কোন নিদিষ্টি ভিত্তি
সাপেক্ষে কোন সংখ্যার
লগারিদম বা লগ এর মান হবে সেই
ভিত্তির এমন একটি সূচক যার দ্বারা
ভিত্তিটিকে ঐ নিদিষ্টি সূচকে
উন্নীত করলে উক্ত সংখ্যাটি
পাওয়া যায়। লগারিদম বলার
সাথে সাথে তার ভিত্তিও বলে
দিতে হয়। ভিত্তি ছাড়া লগারিদম
হয়না। যেমন: a^x=n হলে x=log a^n.
লগারিদম এর প্রয়োগ ক্ষেএ:
১. এলগরিদমের জগতটার ভিত্তি এই
লগারিদম ।
২. বিভিন্ন পরিমাপে যেমন
ভুমিকম্পের পরিমান নির্ণয়ে।
৩. আর্থিক বিভিন্ন ক্যালকুলেশনে
যেমন পরিসংখ্যন বিদ্যায়।
৪. আর বিজ্ঞান ও ইন্জিনিয়ারিং
সেক্টর তো আছেই।

বীজগানিতিক রাশি(Algebraic
Exprssion): মুসা আল-খোয়ারিজমির
অনন্য আবিস্কার আধুনিক বীজগণিত।
তাইতো আধুনিক বীজগণিতের জনক
তিনি। (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 এই সূএ
জানেন না এরকম লেখাপড়া জানা
মানুষ হয়ত খুব কম পাওয়া যাবে।
এটিও এক প্রকার বীজগানিতিক
রাশি। এর সঙ্গা এভাবে দেওয়া
যায়: এক বা একাধিক সংখ্যা ও
সংখ্যা নির্দেশক প্রতীকে যেমন
যোগ(+), বিয়োগ(-), গুন(*), ভাগ(/) ঘাত
বা মূল চিহ্নের যে কোন একটি বা
একাধিকের সাহায্যে অর্থবহ
ভাবে সংযুক্ত করলে যে নতুন
সংখ্যা নির্দেশ প্রতিকের সৃষ্টি হয়
তাতে কি বীজগণিতিক রাশি বা
সংক্ষেপে রাশি বলে। যেমন:3x, 2x
+3ay ইত্যাদি।
বীজগাণিতিক রাশির আবার
কতগুলো ভাগ আছে।
পৃথিবীতে বিজ্ঞানের পিছনের
শক্তি হিসেবে কাজ করে
বীজগাণিতিক রাশি। বর্তমানে
প্রায় সব গণিতেই বীজগাণিতিক
রাশি ব্যবহার করা হয়।
ফাংশন(Function): F(x)= ? এ মধ্যে যে
কত রহস্য আর কাহিনী লুকিয়ে
আছে। ফাংশন গণিতের একটি অনণ্য
আবিস্কার। ইংরেজী ফাংশন
শব্দটি আমরা বহুবার শুনেছি। প্রায়
সব জায়গায় একটি নির্দিষ্ট কাজ
বুঝাতে ফাংশন কথাটি ব্যবহার
করা হয়। দুই বা তোতাধিক রাশির
মধ্যে সম্পর্ক এবং তাদের নিয়ে
ক্রিয়া প্রতিক্রিয়া নিয়েই
ফাংশনের কাজ। ফাংশন একটি
বিশেষ ধরনের অন্বয় বা সম্পর্ক। এবার
আসি ফাংশনের সঙ্গায়:
ফাংশন একটি গাণিতিক ধারণা
যা দুইটি রাশির মধ্যে পারস্পরিক
নির্ভরশীলতা প্রকাশ করে। একটি
রাশিকে বলা হয় প্রদত্ত রাশি, বা
স্বাধীন চলক বা ফাংশনটির
আর্গুমেন্ট বা ইনপুট। অপরটিকে
উৎপাদিত রাশি বা ফাংশনের
মান বা আউটপুট বলা হয়। ফাংশন
কোন একটি নির্দিষ্ট সেট থেকে
(যেমন-বাস্তব সংখ্যার সেট থেকে)
নেয়া প্রতিটি ইনপুট উপাদানের
জন্য একটি অনন্য আউটপুটকে সম্পর্কিত
করে।
ফাংশনের ব্যবহার কোথায় হয়? এই
প্রশ্নের উওর দেওয়ার চেয়ে
ফাংশনের ব্যবহার কোথায় হয়না
এই প্রশ্নের উওর দেওয়া হয়ত সহজ।
গণিতের বিভিন্ন শাখা পিলার হয়
আর সেই পিলারের উপর বিজ্ঞান
দাড়িয়ে থাকে তবে সবচেয়ে
গুরুত্বপূর্ন পিলার হচ্ছে ফাংশন। তার
পরও কিছু প্রয়োগ ক্ষেএ তুলে
ধরলাম:
১) গ্রাফ
২)ক্যালকুলাস
৩) সকল বৈজ্ঞানিক, অর্থনৈতিক
এবং ইন্জিনিয়ারিং জগতে।
গ্রাফ(Graph) : ফাংশনের
গ্রাফিক্যাল উপস্থাপনা কে গ্রাফ
বলা যায়। তবে গ্রাফ বিভিন্ন
ধরনের হয়ে থাকে। আবার
বীজগাণিতিক রাশির চিএের
মধ্যমে উপস্থাপনাকেও গ্রাফ বলে।
কম্পিউটার মনিটরের উপস্থাপনাই
গ্রাফের সবচেয়ে ভাল উদাহরন।
এছাড়াও
১. পরিসংখ্যন বিদ্যা
২. বিভিন্ন বৈজ্ঞানিক গভেষণায়।
৩. চিএ ভিত্তিক যে কোন কিছুর
গভীরেই থাকে গ্রাফ থিওরী।

ক্যালকুলাস(Calculus): বিজ্ঞানী
নিউটন আর লিবনিজের আরেকটি
অনন্য আবিষ্কারই হল ক্যালকুলাস।
বর্তমান বিজ্ঞানের উৎকর্ষতার
পেছনে সবচেয়ে বড় অবদান
ক্যালকুলাসের। ক্যালকুলাস হল
বীজগানিতিক রাশি আর
ফাংশনকে গড়ে উঠা এক বিশাল
গণিত প্রাসাদ। ক্যালকুলাসকে দুই
ভাগে ভাগ করা যায়। একটি হল
ডিফারেনসিয়াল ক্যালকুলাস এবং
অন্যটি হল ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস।
যেখানে বীজগণিত শেষ সেখান
থেকেই শুরু হয় ক্যালকুলাস। বর্তমান
বিজ্ঞান এবং ইন্জিনিয়ারিং এ
প্রায় ৯০% জুড়ে আছে এই
ক্যালকুলাস। সবচেয়ে মজার কথা হল
ক্যালকুলাসের ভিত্তি কিন্তু
ফাংশনই।

পোস্ট অনেক বড় হয়ে গেছে। তাই
আজ এ পর্যন্তই।
সবশেষে একটি পরামর্শ: মেধা
বিকাশে গণিত চর্চার চেয়ে উন্নত
কোন কিছু আজও আবিস্কার হয়নি।
তাই প্রতিদিন আপনি অথবা আপনার
সন্তানকে অন্তত দুটি করে
গানিতিক সমস্যার সমাধান করুন
অথবা করতে দিন।

তথ্যসূএ: কিছু গণিতের বই,
উইকিপিডিয়া ।
বিশেষ কৃতজ্ঞতা : আলামিনস্টাইন এর বাংলা ব্লগ(সামু)

বিসিএস
প্রিলি- গণিত)
কাজ এবং শ্রমিক

নিয়ম-১: ৩ জন পুরুষ বা ৪ জন মহিলা
একটি কাজ ২৩ দিনে করতে পারে।
কত দিনে ঐ কাজটি শেষ করতে ২
জন পুরুষ এবং ৫ জন মহিলার
প্রয়োজন হবে?

উত্তর: T = (M x W T)/ (M W + M W) =
(৩x৪x২৩)/(৩x৫ + ৪x২) = ১২ দিন

নিয়ম-২: যদি রিয়াদ একটি কাজ
১০ দিনে করে এবং রেজা ঐ কাজ
১৫ দিনে করে তবে রিয়াদ এবং
রেজা একসাথে কাজটি কত
দিনে করতে পারবে?

উত্তর: G = FS/(F+S) = (১০ x ১৫)/ (১০+১৫) = ৬
দিনে

নিয়ম-৩: যদি ক একটি কাজ ১০
দিনে করে এবং ক 3 খ একসাথে
কাজটি ৬ দিনে করে তবে খ
কাজটি কতদিনে করতে পারবে?

উত্তর: G = FS/(F-S) = (১০ x ৬)/ (১০-৬) = ১৫
দিনে

নিয়ম-৪: ক, খ এবং গ একটি কাজ
যথাক্রমে ১২, ১৫ এবং ২০ দিনে
করতে পারে। তারা একত্রে
কাজটি কতদিনে করতে পারবে?

উত্তর: T = abc/ (ab + bc + ca) = (১২ x ১৫ x
২০)/ (১২x১৫ + ১৫x২০ + ২০x১২) = ৫ দিনে

নিয়ম-৫: ৯ জন লোক যদি একটি কাজ
৩ দিনে করে তবে কতজন লোক
কাজটি ৯ দিনে করবে?

উত্তর: M D = M D বা, ৯ x ৩ = M x ৯
সুতরাং, M = ৩ দিনে

নেৌকা 3 স্রোত

নিয়ম-১: নেৌকার গতি স্রোতের
অনুকূলে ঘন্টায় ১০ কি.মি. এবং
স্রোতের প্রতিকূলে ২ কি.মি.।
স্রোতের বেগ কত?

উত্তর: স্রোতের বেগ = (স্রোতের
অনুকূলে নেৌকার বেগ –
স্রোতের প্রতিকূলে নেৌকার
বেগ)/ ২ = (১০ – ২)/২ = ৪ কি.মি.
নিয়ম-২: একটি নেৌকা স্রোতের
অনুকূলে ঘন্টায় ৮ কি.মি. এবং
স্রোতের প্রতিকূলে ঘন্টায় ৪
কি.মি. যায়। নেৌকার বেগ কত?
উত্তর: নেৌকার বেগ = (স্রোতের
অনুকূলে নেৌকার বেগ + স্রোতের
প্রতিকূলে নেৌকার বেগ)/ ২ = (৮ +
৪)/২ = ৬ কি.মি.
নিয়ম-৩: নেৌকা 3 স্রোতের বেগ
ঘন্টায় যথাক্রমে ১০ কি.মি. 3 ৫
কি.মি.। নদীপথে ৪৫ কি.মি. পথ
একবার যেয়ে ফিরে আসতে কত
সময় লাগবে?
উত্তর: স্রোতের অনুকূলে নেৌকার
বেগ = (১০+৫) = ১৫ কি.মি.
স্রোতের প্রতিকূলে নেৌকার
বেগ = (১০-৫) = ৫ কি.মি.
মোট সময় = [মোট দূরত্ব/অনুকূলে বেগ
+ মোট দূরত্ব/প্রতিকূলে বেগ] =
[৪৫/১৫ + ৪৫/৫) = ৩ + ৯ = ১২ ঘন্টা
নিয়ম-৪: একজন মাঝি স্রোতের
অনুকূলে ২ ঘন্টায় ৫ কি.মি. যায়
এবং ৪ ঘন্টায় প্রথম অবস্থানে
ফিরে আসে। তার মোট ভ্রমণে
প্রতি ঘন্টায় গড় বেগ কত?
উত্তর: গড় গতিবেগ = মোট দূরত্ব/মোট
সময় = (৫+৫)/(২+৪) = ৫/৩ মাইল
নিয়ম-৫: এক ব্যক্তি স্রোতের
অনুকূলে নেৌকা বেয়ে ঘন্টায় ১০
কি.মি. বেগে চলে কোন স্থানে
গেল এবং ঘন্টায় ৬ কি.মি. বেগে
স্রোতের প্রতিকূলে চলে
যাত্রারম্ভের স্থানে ফিরে এল।
যাতায়াতে তার গড় গতিবেগ কত?
উত্তর: গড় গতিবেগ = 2mn/(m+n) = ২ x ১০
x ৬/(১০+৬) = ১৫/২ কি.মি.

ট্রেন এবং স্টেশন

নিয়ম-১: ঘন্টায় ৭৫ কি.মি. বেগে
গমন করলে ১৮০ মিটার দীর্ঘ ১টি
ট্রেনের ৩২০ মিটার দীর্ঘ প্লাটফর্ম
অতিক্রম করতে কত সময় লাগবে?
উত্তর: দূরত্ব = বেগ x সময়
বা, সময় = দূরত্ব/বেগ = (১৮০+৩২০)
মি./৭৫ কি.মি. ঘন্টা = ৫০০ মি./(৭৫
x ৫/১৮ মি. ঘন্টা ) = ২৪ সে.
নিয়ম-২: একটি ৬৭ মিটার লম্বা
ট্রেন ঘন্টায় ৪৫ কি.মি. বেগে ১৩৩
মিটার লম্বা প্লাটফর্ম অতিক্রম
করে। ট্রেনটির ঐ প্লাটফর্ম অতিক্রম
করতে কত সময় লাগবে?
উত্তর: সময় = (ট্রেনের দৈর্ঘ্য +
প্লাটফর্মের দৈর্ঘ্য)/গতিবেগ =
(৬৭+১৩৩)/(৪৫ x ৫/১৮) = ১৬ সে.
নিয়ম-৩: ১২১ মিটার এবং ৯৯ মিটার
দীর্ঘ ট্রেন যথাক্রমে ঘন্টায় ৪০
কি.মি. এবং ৩২ কি.মি. বেগে
বিপরীত দিক থেকে পরস্পরের
দিকে আসতে থাকলে কত সময়ে
ট্রেন দুইটি পরস্পরকে অতিক্রম
করবে?
উত্তর: সময় = (প্রথম ট্রেনের দৈর্ঘ্য +
দ্বিতীয় ট্রেনের দৈর্ঘ্য)/(প্রথম
ট্রেনের গতিবেগ + দ্বিতীয়
ট্রেনের গতিবেগ)
বা, সময় = [(১২১ + ৯৯)/(৪০ + ৩২) x
৫/১৮] = ১১ সে.
নিয়ম-৩: ২২০ মিটার দীর্ঘ কোন
ট্রেন ৬৮ কি.মি./ঘন্টা বেগে চলে,
একই দিকে ৮ কি.মি./ঘন্টা বেগে
২৮০ মিটার দৈর্ঘ্যর চলন্ত ট্রেনকে
কত সময়ে প্রথম ট্রেনটি অতিক্রম
করবে?
উত্তর: সময় = (প্রথম ট্রেনের দৈর্ঘ্য +
দ্বিতীয় ট্রেনের দৈর্ঘ্য)/(প্রথম
ট্রেনের গতিবেগ - দ্বিতীয়
ট্রেনের গতিবেগ)
বা, সময় = [(২২০ + ২৮০)/(৬৮ - ৮) x
৫/১৮] = ৩০ সে.

ক্রেডিট: এনামুল হক
আমাদের কে ফেসবুকে পাবেন এখানে বিজ্ঞান প্লাস গণিত

চলবে...............

সংখ্যা আমরা নানা কাজে
ব্যবহার করি। সংখ্যা ব্যবস্থা
সম্পর্কেও আমরা ছোটবেলায়
পড়াশোনা করে এসেছি। কিন্তু
এরপরও আমরা অনেকে
সংখ্যাগুলোর অনেক প্রকার ব্যবহার
সম্পর্কে সম্যক ধারণা রাখি না।
একটি দেশে কেবল মাত্র ১, ১০, ১০০
এবং ১০০০ টাকার নোট আছে।
একজনের কাছে ৮৬৭৩ টাকা আছে।
তার কাছে ন্যূনতম কতগুলো নোট
আছে বা সর্বনিম্ন কতগুলো নোট
দিয়ে ৮৬৭৩ টাকা পাওয়া যেতে
পারে?
অংকটি ছোটোদের জন্য খুব সহজ।
বড়দের জন্য একটু একটু কঠিন। বড়রা
অনেক কঠিন ভাবে ভাবতে গিয়ে
ব্যাপারটিতে গোলমাল লাগিয়ে
দিতে পারে। উত্তর হচ্ছে ৮ + ৬ + ৭
+ ৩ = ২৪। খুব সহজ তাই না? এখন
চিন্তা করুন অংক দিয়ে গণনা বা
পরিমাপ ছাড়া আর কি করা
যেতে পারে?
ধরুন আপনার ৫ জন ভাই আছে এবং
আপনার দেশে ১০ টি শহর আছে।
আপনার ভাইয়েরা যে কোনো সময়
যে কোনো শহরে অবস্থান করতে
পারে। আপনি জানতে চাইলেন
আপনার কোন ভাই এই মুহুর্তে কোন
শহরে আছে। এই সমস্যার সমাধান
কি একটি সংখ্যা আকারে প্রকাশ
করা যেতে পারে? হ্যাঁ পারে।
ধরুন কেউ আপনাকে বলল আপনার ৫
ভাইয়ের বর্তমান অবস্থান ৯৮৬৫৭।
এটা দেখে কি আপনি বুঝতে
পারবেন যে আপনার কোন ভাই
কোন শহরে আছে? চেষ্টা করলেই
পারবেন। আমরা জানি অংকগুলোর
মূল্য ডান থেকে বামের দিকে
বৃদ্ধি পায়। সুতরাং সে হিসেবে
৭ হচ্ছে ১ম ভাইয়ের অবস্থান, ৫
দ্বিতীয় ভাইয়ের অবস্থান, ৬ তৃতীয়
ভাইয়ের অবস্থান, চতুর্থ ভাই আছে ৮
নং শহরে এবং ৫ম ভাই নবম শহরে।
খেয়াল করে দেখুন শহর আছে ১০টি।
সুতরাং আমরা ০ থেকে ৯ পর্যন্ত
অংকগুলো ব্যবহার করেই ভাইদের
অবস্থান বলে দিতে পারি।
কেউ বলল আপনার ৫ ভাইয়ের
অবস্থান ৭৮৬। এর অর্থ কি? ৭৮৬ কে
আমরা লিখতে পারি ০০৭৮৬।
সুতরাং প্রথম তিন ভাইয়ের
অবস্থান যথাক্রম ৬, ৮ এবং ৭ এবং
চতুর্থ ও পঞ্চম ভাই আছে ০ তম শহরে।
যদি শহর সংখ্যা ১০ না হয়ে ৫ হত?
জ্বী ঠিক ধরেছেন, তখন আমরা ০
থেকে ৪ পর্যন্ত অংকগুলোকে
ব্যবহার করেই বলে দিতে পারতাম
কোন ভাইয়ের অবস্থান কোথায়।
যদি ভাইয়ের সংখ্যা ৫ না হয় ৭
হতো? তখন আমাদের সর্বোচ্চ সাত
ঘর পর্যন্ত ফলাফল দরকার হতো।
অনুশীলনঃ আপনার ৪ বোন আছে।
তাদের প্রত্যেকের কাছে সর্বোচ্চ
৬ টি করে চাচা চৌধুরী কমিকস
আছে। একজন আপনাকে বলল, আপনার
বোনদের বইয়ের অবস্থা,
১। ৭৭৭৭৩
২। ৪৩৫০
১ ও ২ নং তথ্য কি সঠিক? সঠিক হলে
কার কাছে কয়টি করে কমিকস
আছে? সঠিক না হলে কেন?
উত্তর লেখার শেষে পাওয়া
যাবে।
ভিত্তিঃ
ভিত্তি বা বেসের (Base) এর
প্রাথমিক ধারণা আমরা আগের
অনুচ্ছেদে পেয়ে গেছি। যখন
আমাদের শহরের সংখ্যা দশ তখন
আমাদের ভিত্তি প্রয়োজন দশ। ৫৬৪
সংখ্যাটি ৬ ভিত্তিতে সম্ভব নয়।
কারণ একটি ক ভিত্তিক সংখ্যার
যে কোনো অংক সর্বোচ্চ ক - ১
হতে পারে। এজন্যই আমাদের ১০
ভিত্তিক হিসেবে আমরা ০
থেকে ৯ পর্যন্ত অংক ব্যবহার করি।
সুতরাং ৫৬৪ সংখ্যাটি সর্বনিম্ন ৭
ভিত্তিতে বৈধ।
ভিত্তির গুরুত্ব কি?
ভিত্তির কারণে আমরা
সংখ্যাদের সঠিকভাবে তুলনা
করতে পারি। একটি পূর্ণ সংখ্যা
আরেকটি পূর্ণ সংখ্যা থেকে বড়
না ছোট তা বোঝার উপায় হচ্ছে
প্রথমে সংখ্যাদ্বয়ের চিহ্ন তুলনা
করা। ধরলাম দু'টি সংখ্যাই ধনাত্মক।
এখন সংখ্যা দুটির মধ্যে প্রথমে
তুলনা করতে হবে তাদের মধ্যে
একটি আরেকটির তুলনায় দৈর্ঘ্যে
বড় কিনা। তবে এই তুলনা করার
আগে অবশ্যই বাম দিকের সব শূন্য
সরিয়ে নিতে হবে। নাহলে ০০০০১
কে ১২ এর চেয়ে বড় মনে হতেই
পারে। এখন বামদিকের শূন্যগুলো
সরানোর পর যদি সংখ্যা ক,
সংখ্যা খ এর তুলনায় বেশি
অংকবিশিষ্ট হয় তবে ক , খ এর চেয়ে
বৃহত্তর।
প্রমাণঃ
দশ ভিত্তিতে ৩ অংকের বৃহত্তম
সংখ্যাঃ ৯৯৯
দশ ভিত্তিয়ে ৪ অংকের ক্ষুদ্রতম
সংখ্যাঃ ১০০০
আমরা স্বাভাবিক ভাবেই জানি
১০০০ > ৯৯৯। সুতরাং আমাদের কথা
সত্য। কিন্তু এর মধ্যেই আরেকটি রহস্য
লুকিয়ে আছে।
১০০০ এর গঠন প্রক্রিয়াঃ ১ X ১০ ৩ + ০
X ১০ ২ + ০ X ১০ ১ + ০ X ১০ ০
৯৯৯ এর গঠনঃ ০ X ১০৩ + ৯ X
১০২ + ৯ X ১০ ১ + ৯ X ১০ ০
সুতরাং আমরা দেখতে পাচ্ছি
১০০০ এর মধ্যে ১০ এর সর্বোচ্চ সূচক
হচ্ছে ৩ এবং ৯৯৯ এর মধ্যে তা হচ্ছে
২। সুতরাং ১০০০ অবশ্যই ৯৯৯ এর
তুলনায় বৃহত্তর হবে।
এখন যদি দু'টি সংখ্যা ক এবং খ এর
দৈর্ঘ্য সমান হয় তবে?
তাহলে যেটি করতে হবে সেটি
হচ্ছে বাম থেকে ডান দিকে
সংখ্যাদ্বয়ের অংকগুলোকে তুলনা
করে যেতে হবে। প্রথম একটি
অবস্থানে, যেখানে ক এবং খ এর
অংকদ্বয় সমান নয়, সেখানে যার
অংক বড়, সেই সংখ্যাটিই বড়।
যেমন উপরে প্রথম অসমান অংক
হচ্ছে বাম দিক থেকে প্রথম ঘরে।
সেখানে ১০০০ এর জন্য ১ এবং ৯৯৯
এর জন্য ০। যেহেতু ১ > ০, সুতরাং
১০০০ > ৯৯৯। বাকিগুলো আর তুলনা
করার প্রয়োজনই নেই।
অনুশীলন ৩ঃ একই যুক্তিতে ৮৯৭৫
এবং ৯৭৬ এর মধ্যে কে বড়? উত্তর
আছে লেখার শেষে।
সুতরাং তুলনা করা থেকে আমরা
কি ভিত্তির গুরুত্ব বুঝতে পারছি?
যদি ১০ ভিত্তিতে ০ - A দশটি
অংক বৈধ হতো, যেখানে A এর
মান ১০, তবে বলুন A আর ১০ এর মধ্যে
কে বৃহত্তর? তখন এক অংকের বৃহত্তম
সংখ্যা হতো A আবার দু' অংকের
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হতো ১০ এবং
উভয়ের মান সমান! আরো অদ্ভুত
ভাবে, AA এর মান হতো ১০X১০ ১ +
১০X১০০ = ১০০ + ১০ = ১১০ আর তিন
অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা হত ১০০!
সুতরাং তিন অংকের একটি
সংখ্যার চেয়ে দু' অংক দিয়ে
বৃহত্তর সংখ্যা গঠন করা সম্ভব হত! এর
ফলে একটি ব্যাপক গোলমাল এবং
পুরো সংখ্যা ব্যবস্থা ভেঙ্গে পড়া
চেয়ে ভালো কিছু হতো না।
আশা করি এখন বোঝা যাচ্ছে
কেনো একটি ভিত্তি ক তে যে
কোনো অংকের মান সর্বোচ্চ ক - ১
হতে পারে।
কম্পিউটার কেন ভিত্তি হিসেবে
দুই ব্যবহার করে?
সুতরাং আমরা বুঝতে পারছি
ভিত্তি দিয়ে আমরা একটি
এককের কতগুলো অবস্থা সম্ভব তা
প্রকাশ করতে পারি। যেমন আমার
ভাইদের অবস্থান হতে পারে ১০টি
শহরে, সুতরাং ভিত্তি দশ।
আপনাকে আটটি লাইট দেয়া
হয়েছে। এখন আপনাকে বলা হল এই
আটটি লাইট ব্যবহার করে ১৬৭
সংখ্যাতই প্রকাশ করতে। কিভাবে
সম্ভব?
সমাধানঃ
জ্বলুক নিভুক জ্বলুক নিভুক নিভুক জ্বলুক জ্বলুক জ্বলুক
আমাদের হাতে প্রতিটি বাতির
জন্য সুযোগ আছে দু'টি; হয় বাতি
জ্বলবে অথবা নিভে থাকবে।
সুতরাং আমাদের ভিত্তি হচ্ছে ২।
এখন জ্বলন্ত গুলোকে ১ এবং নিভন্ত
গুলোকে যদি ০ দ্বারা পরিবর্তন
করি তবে আমরা নিম্নোক্ত
টেবিলটি পাই,
১ ০ ১ ০ ০ ১ ১ ১
লক্ষ্য করো আমাদের ভিত্তি হবে
২, কারণ প্রতিটি ঘরের সম্ভাব্য
অবস্থা মাত্র ২টি। হয় ১ অথবা ০।
সুতরাং ১০১০০১১১ কে ২ ভিত্তিক
সংখ্যা থেকে দশ ভিত্তিকে
নিতে পারি এভাবে,
১ x ২ ৭ + ০ x ২ ৬ + ১ x ২ ৫ + ০ x ২ ৪ + ০ x
২ ৩ + ১ x ২ ২ + ১ x ২ ১ + ১ x ২ ০
= ১২৮ + ০ + ৩২ + ০ + ০ + ৪ + ২ + ১
= ১৬৭
কম্পিউটার লাইট জ্বালানো -
নিভানো না করে কোনো একটি
ক্ষুদ্র চিপে বিদ্যুৎ আছে কি নেই
তার উপরে নির্ভর করে সংখ্যাকে
পড়ে থাকে। কম্পিউটার জানে
মাত্র ২ টি জিনিস। বিদ্যুৎ "আছে"
বা "নেই"। সুতরাং কম্পিউটার
উপরের টেবিলটির মতো করে হয় ০
অথবা ১ দ্বারা ঘরগুলোকে পূর্ণ
করে। কোয়ান্টাম কম্পিউটিং এর
তত্ত্বমতে এই সংখ্যা চার কিন্তু
আমরা এই লেখাতে সে বিষয়ে
আলোচনায় যাবো না। এই
ঘরগুলোকে কম্পিউটিংয়ের
ভাষায় বলা হয় "বিট"। এক একটি বিট
এক এক টি লাইটের ন্যায়। তারা হয়
জ্বলে থাকবে(১) অথবা নিভে
থাকবে(০)।
যখন তোমাকে বলা হয় integer এর
সীমা -২ ৩১ থেকে ২ ৩১ -১ পর্যন্ত
তখন আসলে বোঝানো হয় এই
কম্পিউটারের জন্য এই ভাষায় integer
একটি ৩২ দৈর্ঘের বা ৩২ বিট লম্বা
টেবিল(!) পেয়ে থাকে। ৩২ বিটের
মধ্যে একটি যায় সংখ্যাটি
ধনাত্মক না ঋণাত্মক তা প্রকাশ
করতে। বাকি থাকে ৩১ টি বিট।
অনুশীলনী ৪ঃ ৩১ অংকবিশিষ্ট ২
ভিত্তির সর্বোচ্চ সংখ্যা কোনটি?
সমাধানসমূহঃ
১। সম্ভব নয়। যে কোনো বোনের বই
থাকতে পারে ০ - ৬টি পর্যন্ত। ৭টি
বই থাকতে পারবে না।
২। ০৪৩৫০ - প্রথম বোনের ০টি,
দ্বিতীয় বোনের ৫টি, তৃতীয়
বোনের ৩টি, চতুর্থ বোনের ৪টি
এবং পঞ্চম বোনের ০ টি।
৩। ৮৯৭৫ এবং ৯৭৬ এর মধ্যে তুলনা
করার শুরুতে দেখা যায় ৮৯৭৫ এর
দৈর্ঘ্য বেশি, সুতরাং ৮৯৭৫ বৃহত্তর।
কিন্তু এ অনুশীলনীতে আমাদের
অংক তুলনা করে সংখাদ্বয়ের
মধ্যে তুলনা করতে বলা হয়েছে।
সুতরাং ৯৭৬ এর দৈর্ঘ্য ৮৯৭৫ এর
সমান হওয়ার আগ পর্যন্ত ৯৭৬ এর
শুরুতে ০ বসাতে হবে। আমরা
জানি পূর্ণসংখ্যার বাম পাশের
শূন্যগুলোর কোনো দাম নেই।
সুতরাং আমরা পাই ০৯৭৬ এবং
৮৯৭৫। সুতরাং প্রথম ঘরেই পার্থক্য
হয়। সেখানেও ৯৭৬ এর অংক ৮৯৭৫ এর
প্রথম অংকের তুলনায় ক্ষুদ্রতর।
সুতরাং ৯৭৬ ক্ষুদ্রতর।
সাবধান সংখ্যার শেষে আবার শূন্য
বসিও না। অবশ্য দশমিক থাকলে
সংখ্যার শেষে শূন্য বসাতে
কোনো আপত্তি নেই।
৪। যে কোন ভিত্তি খ এর ক
অংকবিশিষ্ট সর্বোচ্চ সংখ্যা
হচ্ছে ক টি খ - ১ । যেমন ১০
ভিত্তিতে ৩ অঙ্কের সর্বোচ্চ
সংখ্যা হচ্ছে ৩টি ৯, ৯৯৯। সুতরাং
ভিত্তি ২ এ ৩১ সংখ্যাবিশিষ্ট
সর্বোচ্চ সংখ্যা হচ্ছে,
(১১১১১১১১১১১১১১১১১১১১১১১১১১১১১১১)
২ নিচে ছোট করে লেখা ২
সংখ্যাটি ভিত্তি দুইয়ে আছে
বোঝায়। একটু হিসাব করলেই বুঝবে
এটি আসলে ২ ৩২ - ১। বাকিটুকু বের
করে নিও :)
শেষ কথাঃ এখানে যে অংকগুলো
করা আছে সেগুলোতে ভুলভ্রান্তি
থাকা খুবই স্বাভাবিক।
আরো প্রশ্নঃ
যারা প্রোগ্রামিং করো তারা
এই সমস্যাগুলো সমাধান করে
দেখতে পারো।
http://uva.onlinejudge.org/external/3/355.html
http://uva.onlinejudge.org/external/3/343.html
(সার্চিং লাগতে পারে)
http://uva.onlinejudge.org/external/111/11185.html
(ভিত্তি পরিবর্তন)
http://uva.onlinejudge.org/external/112/11205.html
(বিটমাস্ক)

লিখেছেন -
মোহাম্মাদ হেদায়েত
  Software Engineer at GOOGLE