পারফেক্ট নাম্বার

সেই সমস্ত সংখ্যাকে Perfect number বলা হয়, যখন সেই সংখ্যার সকল factor (সংখ্যা অপেক্ষা ছোটো) গুলির সমস্টি সেই সংখ্যাটির সমান হয়।

যেমন ৬ একটি Perfect number, কারণঃ ৬ = ১+২+৩।
এমনি ভাবে আরো কিছু Perfect number এর উদাহরন হচ্ছে
২৮ = ১+২+৪+৭+১৪
৪৯৬ = ১+২+৪+৮+১৬+৩১+৬২+১২৪+২৪৮
৮১২৮ =
১+২+৪+৮+১৬+৩২+৬৪+১২৭+২৫৪+৫০৮+১০১৬+২০৩২+৪০৬৪।
৩৩৫৫০৩৩৬ =
১+২+৪+৮+১৬+৩২+৬৪+১২৮+২৫৬+৫১২+১০২৪+২০৪৮+৪০৯৬+৮১৯১+১৬৩৮২+৩২৭৬৪+৬৫৫২৮+১৩১০৫৬+২৬২
তাছাড়া ৮৫৮৯৮৬৯০৫৬,
১৩৭৪৩৮৬৯১৩২৮, ২৩০৫৮৪৩০০৮১৩৯৯৫২১২৮
এরাও Perfect number।

Perfect number খুঁজে বের করার একটি
সূত্র রয়েছে। সূত্রটি ব্যবহার করে
অনেকগুলি Perfect number খুব সহজেই বের
করা যায়। সূত্রটি হচ্ছে ২^(p−১)×(২^p −
১) এখানে p হচ্ছে prime number. এবার
আসুন দেখি সত্যি সত্যিই এই সূত্র
ব্যবহার করে Perfect number পাওয়া যায়
কিনা দেখি।

p = ২: ২^(p−১)×(২^p − ১) = ২^(২−১)×(২^২ − ১)
= ২×৩ = ৬
p = ৩: ২^(p−১)×(২^p − ১) = ২^(৩−১)×(২^৩ − ১)
= ৩×৭ = ২৮

p = ৫: ২^(p−১)×(২^p − ১) = ২^(৫−১)×(২^৫ − ১)
= ১৬×৩১ = ৪৯৬

p = ৭: ২^(p−১)×(২^p − ১) = ২^(৭−১)×(২^৭ − ১)
= ৬৪×১২৭ = ৮১২৮

তাহলে কি প্রতিটি prime number-ই p এর
স্থানে বসালে একটি করে Perfect
number পাওয়া যাবে?
না, পাওয়া যাবে না। তবে যে
সমস্ত prime number ব্যাবহার করে Perfect
number পাওয়া যাবে তাদের একটি
লিস্ট এখানে দেখাতে পারি।
p = ২, ৩, ৫, ৭, ১৩, ১৭, ১৯, ৩১, ৬১, ৮৯, ১০৭,
১২৭, ৫২১, ৬০৭, ১২৭৯, ২২০৩, ২২৮১, ৩২১৭,
৪২৫৩, ৪৪২৩, ৯৬৮৯, ৯৯৪, ১১২১৩, ১৯৯৩৭,
২১৭০১, ২৩২০৯, ৪৪৪৯৭, ৮৬২৪৩, ১১০৫০৩,
১৩২০৪৯, ২১৬০৯১, ৭৫৬৮৩৯, ৮৫৯৪৩৩,
১২৫৭৭৮৭, ১৩৯৮২৬৯, ২৯৭৬২২১, ৩০২১৩৭৭,
৬৯৭২৫৯৩, ১৩৪৬৬৯১৭, ২০৯৯৬০১১,
২৪০৩৬৫৮৩, ২৫৯৬৪৯৫১, ৩০৪০২৪৫৭,
৩২৫৮২৬৫৭, ৩৭১৫৬৬৬৭, ৪২৬৪৩৮০১,
৪৩১১২৬০৯ ইত্যাদি।

মজার বিষয় হচ্ছে প্রতিটি Perfect
number-ই এক একটি ট্রায়াঙ্গুলার
নাম্বার (Triangular Number)
যেমনঃ ৬ = ১+২+৩।
২৮ = ১+২+৩+৪+৫+৬+৭।
৪৯৬ = ১+২+৩+...............+২৯+৩০+৩১।
৮১২৮ = ১+২+৩+...............+১২৬+১২৬+১২৭।
Perfect number-এর আরো একটি মজা
রয়েছে। চাইলে (প্রথমটি ছাড়া)
প্রতিটি Perfect number-কে শুধুমাত্র
ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার কিউবের
সমস্টি হিসেবে দেখানো যায়।
যেমন
২৮ = ১^৩+৩^৩
৪৯৬ = ১^৩+৩^৩+৫^৩+৭^৩
৮১২৮ =
১^৩+৩^৩+৫^৩+৭^৩+৯^৩+১১^৩+১৩^৩+১৫^৩

কতোটি বিজোড় ক্রমিক সংখ্যার
কিউবের সমস্টি একটি Perfect number-
হবে তা জানার জন্য আমরা একটি
সূত্র ব্যবহার করতে পারি। সূত্রটি
হচ্ছে ২^(p−১)/২। এখানে P এর মান
উপরের Perfect number বের করার যে সূত্র
{২^(p−১)×(২^p − ১)} করেছি সেখানকার
P এর মানের সমান। অর্থাৎ যখন সূত্র
ব্যবহার করে ২৮কে বের করেছি তখন
P এর মান ছিলো ৩। তাই ২৮ এর জন্য
২^(p−১)/২ = ২^(৩−১)/২ = ২^২/২ = ২^১ = ২।
সুতরাং ২৮ বের করতে হলে ২টি
বিজোড় ক্রমিক সংখ্যার কিউবের
সমস্টি করতে হবে। বাকি গুলিও
এবাবেই বের করা সম্ভব হবে।